Kolmnurk

Tähtkuju kohta vaata artiklit Kolmnurk (tähtkuju).

Tavaline kolmnurk

Kolmnurk on hulknurk ja geomeetriline kujund. See on eukleidilises geomeetrias lihtne kujund tasandil, mis on piiratud sirgete lõikudega.

Liigitus

Kolmnurka liigitakse nii nurkade kui ka külgede järgi.

Nurkade järgi

• Teravnurkne kolmnurk, mille kõik nurgad on teravnurgad
• Nürinurkne kolmnurk, mille üks nurk on nürinurk
• Täisnurkne kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk ja teised teravnurgad, mis kokku liites annavad samuti 90° ning mida nimetatakse täiendusnurkadeks

Külgede järgi

• Võrdkülgne kolmnurk, mille kõik küljed on võrdsed ja kõik nurgad 60°
• Võrdhaarne kolmnurk, millel on kaks võrset külge ehk haara ja kaks võrdset nurka, mida nimetatakse alusnurkadeks. Alusnurgad on alati teravnurgad. Võrdkülgne kolmnurk on samuti võrdhaarne kolmnurk.

Kolmnurgas kehtivad seosed

Kolmnurga kahe külje summa on alati suurem kui kolmas külg.

Kolmnurga nurkade summa on 180°. Kolmnurga välisnurk on sisenurga kõrvunurk ja võrdub kahe temaga mitte kõrvuti oleva sisenurga summaga. Suurema nurga vastas on kõige pikem külg ning kõige lühema külje vastas kõige väiksem nurk.

Kolmnurga siseringjoone keskpunkt asub nurgapoolitajate lõikepunktis. Siseringjoone raadius on risti küljega.

Kolmnurga ümberringjoone keskpunkt asub külgede keskristsirgete lõikepunktis.

Kolmnurga kesklõik on lõik, mis ühendab kahe külje keskpunkte. Kolmnurgal on kokku kolm kesklõiku. Kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest.

Kolmnurga mediaan on kolmnurga külje poolitaja. Mediaan ei poolita üldjuhul kolmnurga nurka. Kolmnurgal on kolm mediaani. Mediaani lõikuvad punktis, mis jaotab nad suhtes 2:1 alates vastavast tipust.

Kolmnurga nurgapoolitaja poolitab nurga, kuid ei poolita üldjuhul kolmnurga külge. Nurgapoolitaja jaotab vastaskülje kaheks osaks võrdeliselt kolmnurga kahe teise küljega.

Kolmnurga kõrguste lõikepunkt, mediaanide lõikepunkt ja ümberringjoone keskpunkt asuvad alati ühel sirgel, kuid siseringjoone keskpunkt mitte.

Kõrgus

Kolmnurga kõrgus on ristlõik kolmnurga tipust vastasküljeni. Kolmnurgal on kolm kõrgust:

• Teravnurkse kolmnurga kõik kõrgused on kolmnurga sees
• Täisnurkse kolmnurkse üks kõrgus on kolmnurga sees, teised kaks on haaradel.
• Nürinurkse kolmnurga üks kõrgus on kolmnurga sees, teised kaks on võimalik tõmmata vaid nürinurga haarade pikendustele.

Võrdsuse tunnused

• Külg-külg-külg (KKK) – kaks kolmnurka on võrdsed, kui nende kolmnurkade küljed on vastavalt võrdsed.
• Külg-nurk-külg (KNK) – kaks kolmnurka on võrsed, kui nende kaks külge ja nende vaheline nurk on vastavalt võrsed teise kolmnurga kahe külje ja nendevahelise nurgaga
• Nurk-külg-nurk (NKN) – kaks kolmnurka on võrdsed, kui nende kaks nurka ja nende vaheline külg on vastavalt võrdsed teise kolmnurga ja nendevahelise küljega.

Sarnasuse tunnused

• Nurk-nurk (NN) – kaks kolmnurka on sarnased, kui neil on kaks võrdset nurka.
• Külg-külg-külg (KKK) – kaks kolmnurka on sarnased, kui nende küljed on vastavalt võrdelised.
• Külg-nurk-külg (KNK) – kaks kolmnurka on sarnased, kui neil on kaks võrdelist külge ja nende külgede vahelised nurgad on võrdsed.

Ümbermõõt

Kolmnurga ümbermõõt avaldub järgmise valemi kaudu:

$\pagecolor{Gray}P=a+b+c$

Pindala

Kolmnurga pindala on elementaarne probleem, millega võidakse sageli kokku puutuda paljudes olukordades. Kõige tuntum ja lihtsam valem kolmnurga pindala arvutamiseks on:

$S = \frac{1}{2}ah$

kus h tähistab kolmnurga kõrgust ja ja a tähistab selle alust.

Trigonomeetriat kasutades

Pindala kahe külje ja nendevahelise nurga järgi:

$S = \frac{1}{2}ab\sin \gamma = \frac{1}{2}bc\sin \alpha = \frac{1}{2}ac\sin \beta$

kus γ on sisenurk külgede a ja b vahel, α on sisenurk külgede b ja c vahel ning β sisenurk külgede a ja c vahel.

Heroni valemit kasutades

Heroni valemiga arvutatakse kolmnurga pindala kolme külje järgi:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

kus p on pool kolmnurga ümbermõõtu.

Kolm teist samaväärset viisi Heroni valemi kirjutamiseks:

$S = \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}$

$S = \frac{1}{4} \sqrt{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}$

$S = \frac{1}{4} \sqrt{(a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) (a+b+c)}.$

Teised valemid

Siseringjoone raadiuse ja ümbermõõdu kaudu (seda valemit saab rakendada kõikide tangentsiaalsete hulknurkade puhul):

$S = r \cdot p$

Külgede ja siseringjoone raadiuse või siseringjoone diameetri kaudu:

$S = \frac{abc}{2D} = \frac{abc}{4R}$

Siinusteoreem

$\frac{a}{sin \alpha} = \frac{b}{sin \beta} = \frac{c}{sin \gamma} = 2R$

Koosinusteoreem

$a^2\ = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\alpha)$ $b^2\ = a^2 + c^2 - 2ac\cos(\beta)$ $c^2\ = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)$